线性代数【2】 – Nagisa的小窝

代数余子式与余子式

设有行列式:

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\\end{vmatrix}$

则 $a_{11}$ 的余子式 $M_{11}$ :

$M_{11}=\begin{vmatrix}a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\end{vmatrix}$

代数余子式 $A_{11}$ = $M_{11}(-1)^\tau$ ，其中 $\tau=i+j$ ，i为a所在行，j为a所在列。

代数余子式的性质

设有行列式 $A$ ，则有

$\lvert A \rvert$ = $A_{i1} A_{i1}+a_{i2} A_{i2}+\cdots+a_{ij} A_{ij}$

$\lvert A \rvert$ = $A_{1j} A_{1j}+a_{2j} A_{2j}+\cdots+a_{ij} A_{ij}$

某一行相应元素乘以另一行相应的代数余子式，结果等于0。

e.g: $\lvert A \rvert$ = $A_{11} A_{i1}+a_{12} A_{i2}+\cdots+a_{1j} A_{ij}=0(i\neq 1)$

伴随矩阵

设有矩阵 $A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1j}\\a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2j}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\cdots}&a_{ij}\\\end{vmatrix}$

则有伴随矩阵 $A^*=\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{j1}\\A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{j2}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\A_{i1}&A_{i2}&{\cdots}&A_{ji}\\\end{vmatrix}$

其中 $A_{ij}$ 为矩阵A中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

有性质 $A A^*=A^* A=\lvert A \rvert E$ ，其中E为单位矩阵。