线性代数【1】 – Nagisa的小窝

行列式性质

1.行列互换（把整个行列式转置），值不变，即

$\begin{vmatrix} A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A^T\\\end{vmatrix}$

2.行列式中某行（列）全为0，则行列式全为零。

$即有A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\\hline0&0&0&0\\\end{matrix}=0$

3.行列式中的两行（列）元素相等或者对应成比例，则行列式为0；

$\begin{vmatrix}1&2&3&0\\2&4&6&0\\1&1&1&1\\2&3&1&2\\\end{vmatrix}=0$

4.行列式中的某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。

$\begin{flushleft}\begin{tiny}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&{\cdots}&a_{2n}+b_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\b_{21}&b_{22}&{\cdots}&b_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\\end{vmatrix}\end{tiny}\end{flushleft}$

5.行列式中两行列互换，行列式的值反号（区分于矩阵）

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}$

6.行列式中某行（列）元素有公因子k且k≠0则k可以提到公因式外面。

7.行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变。